第5章　大学公式過去問を転載せず要求技能へ変換する

東京理科大学は大学院入試問題を公式ページからBoxで公開し、2026年度数理科学専攻について数学I・数学IIそれぞれの問題、解答例、出題意図を提供しています。一方、公表方針は受験生本人の学習利用を想定し、私的利用の範囲を超える複製や送信等を認めず、個々の設問への問い合わせにも応じないとします。

問題紙の実施日は2025年8月1日です。第1問は線形代数で、パラメータを含む3次行列について固有値・固有ベクトル、直交対角化、最小多項式、正の平方根行列を扱います。第2問は微分積分・解析で、Cauchy列の定義と証明、座標変換の連鎖律、線形変数変換を使う二重積分を扱います。第3問は集合と位相で、有限集合上の位相、Hausdorff性、連結性、相対位相、連続性を扱います。大学の出題意図も三問を線形代数学、微分積分学、集合と位相の理解確認と位置付けます。

問題紙の実施日は2025年8月1日です。第1問は代数学で有限群の自己同型、直積群、PIDの既約元、多項式環がPIDとなる条件を扱います。第2問は幾何学でJacobian、階数・臨界値、正則値定理、部分多様体を扱います。第3問は解析学で可測関数、点ごとの収束、Lebesgue積分、優収束定理、指示関数の積分を扱います。第4問は複素解析で極・留数、留数定理による広義積分、Maclaurin係数を扱います。出題意図は代数、幾何、解析、特に複素解析と区分します。

2026年度問題から確定できるのは、2025年8月1日に数学Iが3問全問必答、数学IIが4問中2問選択だったことです。2027年度募集要項から確定できるのは、数学Iが線形代数・微分積分・集合と位相で90分、数学IIが代数・幾何・解析で60分ということです。2027年度の設問数、選択数、各領域の配点は公表されていません。過年度の形式は練習時間を測る参考にはなりますが、「今年も同じ」とする根拠にはなりません。

数学I第1問型の練習では、最初に対象が実対称行列か、パラメータがあるか、求めるものが固有値、固有空間、対角化、最小多項式、平方根のどれかを整理します。次に、対称行列なら直交行列で対角化できること、固有値の重複と最小多項式の次数は同じ情報ではないことを確認します。この読み方は本書が作成した解法整理であり、大学公表の問題文や解答例の文章を置き換えて掲載するものではありません。

答案は、特性多項式を求める、各固有値の固有空間を解く、必要なら正規直交化する、固有値を並べた対角行列と直交行列を組み立てる、最小多項式を場合分けする、平方根行列をスペクトル分解から構成する、最後に二乗と正値性を検算する、という順にします。途中式には、どの固有値に対応するベクトルか、どの仮定で直交対角化を使うかを書きます。これは本書独自の一般的答案構成で、過去問の数値や大学解答を再掲していません。

本書の独自答案では、「対称だから実固有値を持ち、異なる固有値の固有ベクトルは直交する」「正の平方根を構成するには固有値の符号を確認する」「パラメータの値で固有値の重なり方が変われば最小多項式を分ける」のように、操作を許す理由を書きます。固有値計算の結果だけを並べず、基底が全空間を張るか、構成した行列を二乗すると元へ戻るかを確認します。公式解答例の転載ではなく、同じ領域へ本書が付けた説明方針です。

固有空間は、行列を作用させても向きが変わらず倍率だけ変わるベクトルの集合です。最小多項式は、その行列を代入すると零行列になる最低次数のモニック多項式です。正の平方根行列は、二乗すると元の行列になり、固有値が非負になる行列です。対称行列を直交対角化できれば、対角成分の非負平方根を取り、同じ直交行列で戻すという構成が見えます。三つの用語を同じものとして扱わず、定義、構成、検算を分けます。

第一の失点は特性多項式の符号や因数分解、第二は固有ベクトルを一つ出して基底確認を省くこと、第三は対称性や正値性を確認せず定理を使うこと、第四はパラメータの例外値を落とすこと、第五は平方根行列を作って二乗検算をしないことです。誤答ノートには正解を書き写すのではなく、どの段階で条件を落としたかを記録します。この分類も大学の採点表ではなく、本書が同種問題の再発を防ぐために提案する方法です。

2026年度は60分で4問中2問を選ぶため、解き始める前に各問の定義、主要定理、計算量を短時間で見極める必要があったと本書は推定します。第一専門だけに全時間を使うのではなく、第二専門を準備し、開始後数分で二問を選ぶ練習が有用です。ただし、2027年度も4問中2問になるとは募集要項に書かれていません。選択戦略は過年度形式への練習であり、2027年度の出題予告ではありません。

2027年度数学I・IIの設問数、数学IIの選択数、領域別配点、証明と計算の比率、部分点、採点ルーブリック、難易度、合格者平均、作問者は公表資料にありません。2026年度の大学公表解答例は結論や主要式を短く示しますが、すべての論証過程と配点を示す完全な採点基準ではありません。本書は空白を予想問題の断定や創作した公式配点で埋めません。