第3章　令和8年度数学5問を正確に読む

公式の過去問ページは、博士前期課程の情報基礎数学専攻について、数学の実問題を令和8年度から平成17年度まで年度別に掲載しています。令和8年度については、数学問題とは別に「出題の意図」も公開しています。確認日時点で一覧の先頭にある数学実問題は令和8年度です。ページは、著作権の関係で過去問の内容を変更または省略する場合があるとも注意しています。

令和8年度数学の問題1は二つの部分からなります。（1）は、0から無限大までの t sin t を含む二つの広義積分の値を求めます。分母はそれぞれ1+t²と(1+t²)²です。（2）は、2行2列行列Aを与え、単位行列Eと逆行列を含む行列値の広義積分を求めます。公式の「出題の意図」は、留数解析による積分計算と、その応用を確認する問題だと説明しています。

問題2は、実数平面上の関数 f(x,y)=(1+2x²)y exp(-x²-y²) の極値を求める課題です。公式の「出題の意図」は、二変数関数の極値を調べる能力に加え、停留点の近くで関数がどのように振る舞うかを解析する力を確認すると説明しています。

問題3は、[0,∞)上の実数値連続関数fについて二つの主張の真偽を判定し、正しければ証明し、誤りなら反例を挙げる課題です。（1）はxが無限大へ進むときのf(x)の極限が存在し、f(x)²の広義積分も収束するとき、f(x)³の広義積分が収束するかを問います。（2）はf(x)の広義積分が収束するとき、xが無限大へ進むときのf(x)の極限が存在するかを問います。公式の出題意図は、収束の判定と、必要なら反例を構成する力を確認するものです。

問題4は実数a、bを置き、二つの広義積分の収束を証明する課題です。（1）は0から無限大までの x^(a-1)/(1+x)^(a+b) の積分がa>0、b>0なら収束することを示します。（2）は第1象限上の二重積分 1/(1+x^a+y^b) が、a>1、b>1かつ1/a+1/b<1なら収束することを示します。公式の出題意図は、一変数と二変数の広義積分について十分条件を扱い、複数の考え方を使う力を確認すると説明しています。

問題5は、m次実正方行列Aの各成分aᵢⱼを、n次実正方行列Bの定数倍aᵢⱼBへ置き換えてmn次行列を作る写像φ_Bを定義します。積との関係、転置との関係、AとBが可逆な場合の可逆性を証明し、最後に具体的な2次行列Aと3次行列Bから得る6次行列を直交行列で対角化します。公式の出題意図は、行列で定まる写像の基本性質と、実対称行列の直交対角化を確認するものです。

本書による整理では、問題1は複素解析と積分、問題2は多変数解析、問題3・4は実解析、問題5は線形代数という対応になります。これは、大学が問題ごとに示した出題の意図を、学習分野の見出しへ並べ替えたものです。5問が求める作業は一様ではありません。値の計算、命題の証明、反例の構成、十分条件の提示、一般の記号による行列の性質の証明と具体例の対角化に分かれます。本書は、この違いを「計算」「局所解析」「真偽判定」「収束証明」「代数的証明と具体計算」に整理します。問題1にある留数解析は、複素関数の特異点付近の係数である留数を使って積分を計算する方法です。問題5の写像は、ある対象を別の対象へ対応させる規則を指します。可逆性は操作を逆に戻せる性質、直交対角化は実対称行列を長さや角度を保つ座標変換で対角行列に直すことです。「出題の意図」PDFは、各問題で確認したい数学的な力を短く説明しますが、最終答、証明の全手順、部分点、減点条件は掲載していません。出題の意図を模範解答や採点基準と呼ぶことはできません。

本書が2026年9月5日に確認した大学公式の公開資料では、令和8年度数学の独立した公式解答と詳細な採点基準を確認できませんでした。確認範囲外の資料にも解答や基準が存在しないという意味ではありません。本書が独立に解法例を作る場合も、大学公式解答とは表示しません。数学上の正誤を本書が検算して示すことと、大阪大学がその手順に点を与えると主張することを分けます。