第6章　本書独自の振動・線形代数演習

次の問題は大阪大学が公表した過去問ではありません。本書が精密工学の基礎確認用に作成した独自問題です。一方向の変位だけで動きを表す「1自由度」のばね質量系を考え、質量をm = 0.20 kg、ばね定数をk = 80 N/mとします。減衰はなく、ばねは線形、質量は一点に集中し、支持部は理想的とします。固有角振動数ωnと固有振動数fnを求め、単位も示してください。

この問題は大阪大学が公表した入試問題ではありません。質量の変位をx、時間による2階微分（加速度）をx''とすると、自由振動の運動方程式はm x'' + kx = 0です。解をx = A cos(ωt + φ)と置きます。ここでAは振幅、ωは角振動数、φは初期位相です。代入するとk - mω² = 0となり、ωn = √(k/m)を得ます。kの単位N/mはkg/s²なので、k/mの単位は1/s²、その平方根はrad/sに対応します。最後にfn = ωn/(2π)でHzへ変換します。

この問題は大阪大学の過去問ではなく、解答も本書独自です。ωn = √(80/0.20) = √400 = 20 rad/sです。fn = 20/(2π) = 3.183… Hzなので、約3.18 Hzです。ばね定数を80 N/mのまま使えるのは、質量もkgで与えられ、国際単位系がそろっているためです。20をそのままHzと書かず、角振動数と振動数を2πで区別します。

角振動数ωは位相が1秒に何ラジアン進むかを表し、振動数fは1秒あたりの周期数を表します。両者はω = 2πfで結ばれます。固有振動数は、外力がなくても系が自由振動するときに現れる系固有の尺度です。この独自問題は減衰を無視しているため、減衰固有振動数や共振振幅は扱いません。実機では質量分布、支持部、減衰、材料特性が結果を変えます。

この問題は大学公表問題ではありません。第一にk/mの平方根を取り忘れない、第二にrad/sからHzへ移るとき2πで割る、第三にkgとN/mの単位がそろっているかを確かめます。さらに、3.18 Hzを実際の装置の共振周波数と断定しません。ここでは一点質量、線形ばね、無減衰という単純化を置いています。質量やばねの性質が空間に分布するモデルや、微小電気機械システム（MEMS）へ広げるときは、境界条件と有効質量を別に定めます。

次の問題は大阪大学が公表した例題ではありません。本書が応用物理学の数学基礎を点検するために作成した独自問題です。行列A = [[2, 1], [1, 2]]の固有値と、それぞれに対応する正規化固有ベクトルを求めてください。固有ベクトルは実数とし、互いに直交することも確かめます。これは公式問い合わせで提供される例題の再現ではありません。

この問題は大阪大学が公表した入試問題ではありません。λは固有値、vは対応する固有ベクトル、Iは単位行列、detは行列式を表します。det(A - λI) = (2 - λ)² - 1 = 0から、λ = 3または1を得ます。λ = 3では、(A - 3I)v = 0よりvの二つの成分が等しくなります。λ = 1では、二つの成分の和が0です。それぞれ(1, 1)、(1, -1)を取り、長さ√2で割って正規化します。最後に内積が0であることとAv = λvを確かめます。

この問題は大阪大学の例題ではなく、解答も本書独自です。固有値3には(1, 1)/√2、固有値1には(1, -1)/√2が対応します。どちらも長さ1で、内積は(1 - 1)/2 = 0です。固有ベクトル全体を-1倍しても同じ固有方向を表すため、符号が逆でも誤りではありません。ただし、どの固有値にどのベクトルが対応するかはAv = λvで確認します。

固有ベクトルは、行列による線形変換を受けても向きが変わらず、倍率だけが変わる方向です。その倍率が固有値です。実対称行列では、異なる固有値に属する固有ベクトルを直交するように選べます。この独自問題では固有値が異なるため、得られた二方向は自然に直交します。物理では正規モード、主軸、量子状態等の記述へつながりますが、具体的な応用には別のモデルが必要です。

この問題は大学公表問題ではありません。第一にdet(A - λI)の符号、第二に各λへ対応する連立方程式、第三にベクトルの長さ、第四にAv = λvを確かめます。(1, 1)と(-1, -1)は同じ固有方向ですが、(1, 1)を固有値1へ対応させるのは誤りです。正規化を求められていなければ任意の非零倍も固有ベクトルですが、この問題では長さ1まで示します。

振動演習は精密工学の基礎、固有値演習は応用物理学の数学基礎を点検する一例です。荻教授と藤田教授の論文が次の入試へ出るとは判断できず、この二問を解けても合格や配属は保証されません。公式過去問・例題は本書未取得なので、独自演習をその代わりだとは扱いません。受験年度の募集要項と、大学から本人へ提供された資料がある場合はその表紙・条件を優先します。

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