第4章　専門4科目と独自演習

量子力学の範囲は、波動方程式、固有値問題、角運動量、原子、摂動論および変分法です。公式資料はこれらを一つの専門科目として列挙しています。

波動関数は状態を表し、演算子は観測量に対応し、固有値はその測定で得られ得る値です。固有値方程式を解くときは、微分方程式だけでなく境界条件、規格化、量子数の許される範囲を一組として扱います。

摂動論は解ける系に小さな項を加える考え方、変分法は試行関数で基底状態エネルギーの上限を探す考え方です。どちらも、どこが小さいか、試行関数が境界条件を満たすかを説明して使います。

まず無限深井戸や調和振動子などで、固有値・規格化・期待値を手で計算します。その後、角運動量と原子、最後に摂動論と変分法へ進み、各段階で境界条件と次元を検算する順序を提案します。

募集要項は量子力学から一問を出すと示しますが、その一問の配点、小問数、計算量、他科目との難度差、2027年度に重点を置く項目は公表していません。

範囲は、気体分子運動論、熱と仕事、熱力学関数、分配関数、ボルツマン統計、フェルミ統計とボーズ統計、相互作用する系です。

内部エネルギーやエントロピーは状態で決まる量ですが、熱と仕事はどの過程を通ったかで変わります。まず系、外界、符号規約、可逆か不可逆かを宣言してから第一法則と第二法則を使います。

分配関数は、各状態のエネルギーにボルツマン因子を付けて合計したものです。そこから自由エネルギー、平均エネルギー、エントロピーなどを求められるため、準位、縮退、粒子の区別可能性を最初に整理します。

理想気体や二準位系について、熱力学の関係式から求める方法と、分配関数から求める方法を並べます。結果が一致する条件を確認し、フェルミ粒子とボース粒子では状態占有の違いを言葉でも説明します。

確認した資料には、ボルツマン・フェルミ・ボース統計のどれを2027年度に出すか、相互作用系をどの模型で扱うか、小問の比率は掲載されていません。

物性物理学の範囲は、結晶構造、回析現象、格子振動、自由電子模型、周期場の電子、電気伝導、半導体の性質です。

募集要項原文の『回析現象』は、本書では標準的な専門用語である『回折現象』として説明します。結晶の周期性は回折像と逆格子に現れ、原子の振動はフォノンとして熱の運び方に関わり、周期ポテンシャル中の電子はバンドを作ります。この順で学ぶと、半導体や電気伝導を構造から説明できます。

応用数学の範囲は、フーリエ解析、ラプラス変換、複素関数論、偏微分方程式です。

フーリエ解析は空間や時間の変化を波数・周波数成分へ分け、ラプラス変換は初期値問題を代数的に扱いやすくします。本書では、複素関数論を複素積分へ、偏微分方程式を境界値問題へつないで学びます。変換前後の変数、境界条件、逆変換が成り立つ条件を明記することが重要です。

一次元波動方程式を、変数分離、フーリエ展開、境界条件による固有値決定の三つの視点で解きます。解の形だけでなく、各方法が使える条件と初期条件の入り方を比較してください。

物質科学専攻は博士前期課程の過去問を公式に郵送提供しています。180円分の切手を貼った角形2号の返信用封筒に郵便番号・住所・氏名を書き、氏名、E-mailアドレス、志望専攻を記したメモを同封し、封筒に『博士前期課程過去問』と明記して、〒464-8603 愛知県名古屋市千種区不老町 名古屋大学 工学部・工学研究科 物質科学専攻事務室宛に請求します。本書はその問題本文を取得していません。

確認した公開一次資料では、過去問の公式解答、採点基準、問題別配点、採点時に重視する途中式、出題意図の公表を確認できませんでした。

本書は、公開一次資料で公表を確認できない解答や採点基準を大学公式のものとして補作しません。独自演習とその解答例は、大学の公式過去問・公式解答ではないことを明示します。

固有状態は演算子を作用させても同じ関数に定数を掛けた形になる状態、規格化は粒子を全空間のどこかで見つける確率を1にする操作、境界条件は許される波動関数を絞る条件です。

この演習は大学が公表した過去問ではなく、本書が量子力学の基礎範囲に沿って作成した独自問題です。0<x<LでV=0、外側でVが無限大の一次元井戸に質量mの粒子があるとし、定常状態の波動関数とエネルギーを求めます。まず無限の壁によりψ(0)=ψ(L)=0となることを読み取ります。

井戸内の時間に依存しないシュレーディンガー方程式をψ''+k²ψ=0へ直し、一般解、左端の境界条件、右端の境界条件、量子数、規格化、エネルギーの順に書きます。条件を使った行ごとに、どの定数が消え、どの値が離散化されたかを示します。

一般解ψ=A sin(kx)+B cos(kx)にψ(0)=0を入れるとB=0です。ψ(L)=0からsin(kL)=0、非自明解ではk=nπ/L、n=1,2,…です。∫0^L|ψ|²dx=1からA=√(2/L)を選べるので、ψ_n(x)=√(2/L)sin(nπx/L)、E_n=ℏ²k²/(2m)=ℏ²π²n²/(2mL²)となります。

境界条件を一般解より前に曖昧に置く、n=0を固有状態に含める、規格化定数を省く、エネルギーの次元を検査しない、の四点が典型的な誤りです。最後にψが両端で0か、積分が1か、Eの単位がエネルギーかを確かめます。