第6章　本書独自の練習問題と解答例

これは大学が公表した過去問ではない、本書独自の練習問題です。装置の温度T(t)が C dT/dt = P - h(T - T_a) に従い、C, P, hは正、T(0)=T_aとします。T(t)、定常温度、温度上昇が定常上昇の90%に達する時刻を求めてください。

θ=T-T_aと置くと dθ/dt+(h/C)θ=P/C、θ(0)=0です。よって T(t)=T_a+(P/h)(1-exp(-ht/C))。定常温度はT_a+P/h。90%条件から exp(-ht/C)=0.1なので t=(C/h)ln10 です。

P/hは温度そのものではなく温度上昇です。指数の符号、C/hが時間の単位になること、t=0でT=T_a、t→∞でT=T_a+P/hを満たすことを確認してください。

C/hは応答の速さを表す時定数で、値が大きいほど定常状態へ近づくまで時間がかかります。P/hは定常状態で周囲温度から上がる温度差です。式の各項を物理量へ戻すと、計算結果を説明できます。

これは大学が公表した過去問ではない、本書独自の練習問題です。単色光子線を I(x)=I_0 exp(-μx)、μ=0.20 cm^-1 と近似します。強度が半分、10分の1になる厚さを求め、この式だけでは評価できない現実の要因を二つ挙げてください。

半価層は x=ln2/μ=3.47 cm、10分の1価層は x=ln10/μ=11.51 cmです。現実の要因には散乱線、エネルギースペクトル、検出器効率、物質の不均一、幾何学的広がりがあります。

指数減衰式は便利ですが、どの粒子・エネルギー・物質・幾何条件で成り立つかを確認する必要があります。研究では、式を使うことと適用限界を述べることが一組です。

半価層は透過強度が入射強度の1/2になる厚さ、10分の1価層は1/10になる厚さです。どちらも材料と放射線エネルギーに依存するため、数字だけでなく条件を添えて使います。

μの逆数をそのまま半価層にせず、I/I_0を先に置いて対数を取ります。μの単位がcm^-1なら厚さはcmです。単色・一様という仮定を現実の全条件へ広げないことも確認してください。

これは大学が公表した過去問ではない、本書独自の練習問題です。異常の事前確率1%、検知器の感度90%、異常がないときの誤警報率5%とします。警報が鳴ったとき本当に異常である確率を求めてください。

異常かつ警報は0.01×0.90=0.009、正常かつ警報は0.99×0.05=0.0495です。したがって P(異常|警報)=0.009/(0.009+0.0495)=0.1538…、約15.4%です。

感度が高くても、異常自体が稀で誤警報があると、警報後確率は大きく下がります。安全判断では感度、事前頻度、誤警報、見逃しと誤対応の損失を別々に見る必要があります。

感度は異常があるとき警報する確率、事前確率は観測前に異常である確率、誤警報率は異常がないのに警報する確率です。警報後確率は、この三つを同じ分母へそろえて計算します。

感度90%をそのまま答えにせず、正常者から生じる誤警報も分母へ入れます。10000件などの仮想集団に置き換え、異常かつ警報と正常かつ警報を数えると確認しやすくなります。

これは大学が公表した過去問ではない、本書独自の練習問題です。「新型原子炉の研究投資を評価するとき、技術性能だけでなく社会的条件をどのように組み込むべきか。600〜800字で論じなさい。」

結論を「技術性能と社会条件を別軸で比較する」と置きます。技術軸は安全・性能・廃棄物・期間・費用、社会軸は規制・地域受容・核セキュリティ・世代間負担・代替技術です。複数シナリオと感度分析で比較します。

公式統計や論文の事実、本書または自分の評価基準、条件付きの推定を別文にします。数値化できない価値判断を隠さず、前提が変われば結論も変わり得ると書いてください。