第3章　31ページの公式問題例を診断に使う

材料系の募集案内ページは、大学院入学試験の「問題例」PDFへ公式に案内しています。確認したPDFは全31ページで、数学、物理化学、固体物理学、流動・伝熱、反応工学、材料力学の題材を含みます。

公式PDFの資料名は「大学院入学試験問題例」です。本文には各問題セットの実施年度が印字されておらず、特定年度の本試験として識別できる年表示もありません。年代付き過去問ではなく、公式表示どおり問題例です。

確認した問題例には、模範解答、採点基準、配点、合格最低点、部分点の付与方法が掲載されていません。また、各題材の出題頻度や2027年度の出題予告も確認できません。掲載例を「毎年出る問題」とは表現しません。

公式PDFを開き、別紙に「必要な定義」「最初に置く法則」「与条件」「求める量」「検算」を記録します。問題本文を本書へ丸ごと写すのではなく、公式ページ上の原文を見ながら自分の思考過程だけを残します。

問題例では、微分、回転体の体積、重積分、微分方程式、固有値・固有ベクトル、ベクトル解析の題材を確認できます。全31ページの数学部分に掲載された現行の例を、題材名で整理しています。

解けなかったとき、「定義や公式を思い出せない」「式は立つが計算が止まる」「計算できるが検算できない」のどこかを記録します。同じ不正解でも、復習すべき内容が暗記、計算、意味理解で違うためです。

問題例では、熱機関・エントロピー・効率、混合のGibbsエネルギー、気相平衡・平衡定数の題材を確認できます。これらは、募集要項に示された熱力学、相平衡、化学平衡の範囲と対応します。

閉じた系か流れ系か、温度・圧力・組成のどれが一定か、理想化を置くかを最初に書きます。その後に第一法則、第二法則、化学ポテンシャル又は平衡定数を選び、答えの符号と極限を確認します。

問題例では、固体物理学にFCC充填、Drude型電気伝導、結合と格子振動、X線回折と構造因子があり、流動・伝熱に環状流の運動量収支、定常一次元エネルギー収支、熱伝達があります。

問題例では、反応工学にCSTR・PFR、一次反応、Langmuir-Hinshelwood型の吸着・表面反応があり、材料力学に転位ループの力とエネルギー、障害物、Mohr円、von Mises相当応力があります。

式を立てるとき、保存則を一色、材料や流体の性質を表す構成式を一色、初期・境界条件を一色で印します。何を仮定したかが見えるため、分野が変わっても同じ骨格で答案を読み直せます。

31ページの現行問題例には、定義や基本法則から式を立て、条件を入れて結論まで導く題材が多いと本書は推定します。ただし、大学が評価方針として示した文言ではなく、次回の形式・難度・採点を保証しません。

この演習は大学が公表した過去問ではありません。公式範囲にある常微分方程式を学ぶため、本書が独自に置く練習です。「量yが時間tに対してdy/dt＝-ky、y(0)＝y0に従うときy(t)を求める」とします。

未知関数はy(t)、独立変数はt、比例定数はk、初期条件はy(0)＝y0です。右辺が-yに比例するので、yが正なら時間とともに減るモデルです。解法へ進む前に、kが逆時間の次元を持つことも書きます。

yが0でない範囲でdy/y＝-k dtと分け、積分してln|y|＝-kt＋Cとします。指数を取りy＝A exp(-kt)と置きます。途中で積分定数を落とさず、初期条件を代入する前は一般解であることを明示します。

t＝0を代入するとA＝y0なので、y(t)＝y0 exp(-kt)です。k＝0ならyは変わらず、kが正でtが大きいとyは0へ近づきます。元の微分方程式へ代入して左右が一致することも確認します。

募集要項は常微分方程式を数学範囲に含め、問題例にも微分方程式の題材があります。exp(-kt)の指数ktは無次元で、1/kは変化の時間尺度です。この見方は式が現象に対して速すぎるか遅すぎるかを考える入口になります。

符号を正にして増加解にする、積分定数をなくす、初期条件を一般解へ入れ忘れる、の三点を確認します。誤答の発生率を示す統計ではなく、この独自演習で答案を自分で点検するためのチェック項目です。