第6章　構造保存法の独自演習と次年度確認

これは大阪大学が公表した過去問、授業課題、出題予想ではありません。降籏教授の公式研究テーマである構造保存数値解法との接点を理解するため、本書が作成した独自問題です。微分方程式 x'=v、v'=-x と、エネルギー E=(x²+v²)/2 を考えます。正の刻み幅hで、陽的Euler法 xₙ₊₁=xₙ+hvₙ、vₙ₊₁=vₙ-hxₙ と、陰的中点法 (xₙ₊₁-xₙ)/h=(vₙ₊₁+vₙ)/2、(vₙ₊₁-vₙ)/h=-(xₙ₊₁+xₙ)/2 を比べ、1ステップ後のEの変化を求めてください。

陽的Euler法では、更新後のxとvをEₙ₊₁へ代入し、(xₙ+hvₙ)²+(vₙ-hxₙ)²を展開します。陰的中点法では、Eₙ₊₁-Eₙを、(xₙ₊₁-xₙ)(xₙ₊₁+xₙ)/2 と (vₙ₊₁-vₙ)(vₙ₊₁+vₙ)/2 の和に直します。その後、二つの差分方程式を代入し、項が相殺するか確認します。計算前にEₙが負にならないことを確認し、計算後はhを小さくしたときにどちらの更新も元の状態へ近づくか、初期値x₀=1、v₀=0を入れたとき符号と増減が一致するかを確かめます。数値を一つ入れる検算と、任意のxₙ、vₙで成り立つ代数的証明を分けます。この解答順は本書が選んだ独立解法であり、大阪大学の公式解答、指定証明、採点順序ではありません。

陽的Euler法では、2Eₙ₊₁=(xₙ+hvₙ)²+(vₙ-hxₙ)²=(1+h²)(xₙ²+vₙ²)となるので、Eₙ₊₁=(1+h²)Eₙです。h>0かつEₙが正なら、1ステップ後のエネルギーは増えます。Eₙ=0なら、その後も0のままです。陰的中点法では、Eₙ₊₁-Eₙ=h(vₙ₊₁+vₙ)(xₙ₊₁+xₙ)/4-h(xₙ₊₁+xₙ)(vₙ₊₁+vₙ)/4=0です。この独立計算では中点法がEを保存します。これは本書の検算結果で、降籏教授の特定論文の定理や大阪大学の模範解答ではありません。

連続時間の微分方程式をコンピュータで計算するには、時間を小さな刻みに区切ります。この置き換えを離散化と呼びます。離散化後の数値列が、元の方程式のエネルギー保存や散逸という性質を再現するかを見るのが、構造保存という考え方です。独自演習ではEが保存されるかだけを調べました。実際の構造保存数値解法は、対象の方程式、境界条件、空間離散化、安定性、誤差なども扱います。この説明は本書が高校卒業程度の読者向けに整理したもので、大学の用語定義集ではありません。

陽的Euler法の二つの平方を展開すると、+2hxₙvₙと-2hxₙvₙが消えます。残るh²xₙ²とh²vₙ²を落とすと、誤って保存すると結論します。陰的中点法では、a²-b²=(a-b)(a+b)を使うときにEの係数1/2を忘れないようにします。また、この演習で中点法が一つのEを保存したことから、すべての方程式、すべての数値解法、すべての刻み幅で精度や安定性が保証されるとは一般化しません。これらは本書独自問題の誤答防止で、大学の採点基準ではありません。

降籏教授の研究を志望理由へつなぐ場合は、まず対象とする微分方程式と、それが表す現象を一つに絞ります。次に保存量または散逸量、既存の離散化で失われる性質、提案したい数値法、正しさを確かめる理論と計算実験を分けます。理論面では、離散化した式が目的の構造を再現する条件、解が計算中に不安定にならない条件、刻みを細かくしたとき元の解へ近づく条件を分けます。計算面では、比較する既存法、初期値、境界条件、刻み幅、誤差、計算時間をそろえます。研究者総覧やパンフレットにある研究テーマを写すだけでなく、自分が何を比較し、何を証明または計算したいかを書きます。2027年度の受入れ可否、利用できる計算環境、テーマの適合性は公開プロフィールだけで確定せず、最新の公式案内と本人への確認事項として残します。これは本書の研究計画整理法です。

第1～6週は、微積分、線形代数、複素解析の定義と基本定理を、証明の仮定まで説明できる状態にします。週末に、定義を使う例と使えない反例を一つずつ作ります。第7～12週は、公式数学問題を年度別ではなく分野別に解き、未完答の原因を定義不足、方針不足、計算、反例、時間に分けます。答案は翌日に読み返し、「何が収束するのか」などの主語が抜けた証明文、量化記号の抜け、収束条件の見落としを直します。第13～18週は、英語サンプルの訳と説明、架空口頭試問への口頭回答、研究希望調書の草案を並行します。第19～24週は数学180分、英語90分という2027年度の時間を練習例に使い、新年度要項が出たら時刻と科目を更新します。最後の2週は新しい教材を増やさず、誤答の再証明と研究説明の短縮に使います。これは本書の学習計画であり、大学指定の準備期間ではありません。

次年度資料が公開されたら、まず①入学年度と試験実施年、②募集人員と改組後の専攻名、③出願期間・必要書類・費用を確認します。続いて、④数学・英語・口頭試問の日程と英語外部試験の扱い、⑤入学年度の科目表と教員一覧を確認します。確認表には、資料名、URL、文書の日付、該当ページまたは見出し、確認日、前年度との差を記録します。差がない項目にも同じ値を転記するのではなく、新年度文書で確認した箇所を付けます。募集要項本文、別表、英語試験の別紙で記載が分かれる場合は、三つを同じ行へまとめず、根拠を別々に残します。過去問ページでは掲載年度と、実問題・出題の意図・サンプル・架空例の種別を記録します。教員ページでは所属と研究テーマを確認しても、受入れ、担当授業、設備利用まで自動的に確定しません。一つのページの更新だけを根拠に、別の未確認事項まで確定したとは扱いません。これを本書の更新原則とします。

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