第3章　五科目を航空宇宙の言葉で理解する

第一法則では、系へ入る熱、系がする仕事、内部エネルギーの変化を一つの収支式で結びます。ロケット燃焼室なら、燃料が持ち込む化学エネルギー、外へ出る流れのエネルギー、壁への熱損失を同じ勘定表に置く発想です。

エネルギーの総量が合っていても、すべてを仕事へ変えられるとは限りません。第二法則とエントロピーは、熱が高温側から低温側へ移る方向、摩擦や混合で仕事に変えにくい状態が増えることを表します。式の符号はどの系を選んだかと合わせます。

伝導は物質内部の温度差、対流は流体の移動、放射は電磁波によって熱が運ばれます。航空宇宙機では三つが同時に働くため、どの面を境界に取り、温度差、面積、熱伝達率などをどう置くかを先に図示すると式を選びやすくなります。

物体または流体のどこまでを一つの系にするかを枠で囲み、質量、熱、仕事がどちら向きに横切るか矢印で描きます。その後に定常か非定常か、理想気体か、損失を無視するかを書き、保存式へ進みます。

流体が突然消えたり生まれたりしないという質量保存を、入口・出口・内部蓄積の関係で表すのが連続の式です。定常で密度一定なら流量の関係は簡単になりますが、圧縮性流れでは密度変化を残す必要があります。

流体へ働く圧力、粘性、重力などの力は、流体が持つ運動量の時間変化と出入りに対応します。噴流が壁へ当たる力やノズルの推力を考えるとき、検査体積を選び、各面の外向き法線と速度の向きをそろえます。

2026年度航空宇宙流体力学シラバスは、次元解析、Mach数、Reynolds数、航空宇宙機周りの現象、実験・計測、数値解析、データ駆動解析を扱います。2単位、春・水曜1限、野々村拓担当と表示されています。

Mach数は流速を音速で割り、圧縮性の重要度を示します。Reynolds数は慣性の効果と粘性の効果の比で、模型と実機の流れが似る条件を考える手掛かりです。数字だけでなく、分子と分母が表す物理を言葉にします。

壁面では粘性のため流体速度が壁の速度へ近づき、壁から離れた流れとの間に薄い速度変化層ができます。これが境界層です。圧力勾配や粘性との釣合いが崩れると剥離が起こり、揚力・抗力へ影響します。

式を書く前に「何が保存されるか」「どの体積を囲むか」「境界を何が通るか」を一文ずつ書きます。結果の次元を確認し、粘性を無視したのか、定常としたのか、圧縮性を残したのかを答案に短く示します。

一自由度のばね・質量系は一つの変位で形が決まり、多自由度系では複数の変位が必要です。まず座標と正方向を決め、質量、減衰、剛性がそれぞれ加速度、速度、変位へどう掛かるかを運動方程式にします。

外力がなくても、初期変位を与えた系は固有振動数で揺れます。多自由度では振動数ごとに変形の比率である固有モードが現れます。外力の周波数が近いと応答が大きくなるため、共振の条件と減衰の役割を区別します。

伝達関数は初期値をゼロとした線形系で、入力のラプラス変換に対する出力の比を表します。極は応答の速さや安定性に関係し、フィードバックは出力を測って入力へ戻すことで目標との差を減らします。

状態は、現在値が分かれば入力とともに将来の運動を計算できる最小限の変数組です。直接測れない状態でも、出力に十分な情報が現れるなら可観測です。オブザーバはモデルと測定値の差を使って、その状態を推定します。

公式問題冊子の2025年8月20日実施・専門問題4は、回転モータのPD制御、伝達関数と感度関数、状態フィードバック、オブザーバ、分離原理を扱いました。大学の出題意図は、制御工学の必要な知識を理解し応用できるかを問うことです。

安定条件を計算した後に、極がどこへ動いたか、比例ゲインと微分ゲインが応答へ何をしたか、推定誤差がなぜ減るかを一文で説明します。行列計算とブロック線図を別科目にせず、同じ動的システムの二つの表し方として練習します。

応力は材料内部の単位面積あたりの力、ひずみは元の長さに対する変形の割合です。弾性範囲では関係を材料定数で結べますが、力と変形を同じものとして扱いません。引張、せん断、曲げで断面上の分布が異なります。

これは大学が公表した過去問ではなく、本書が作る独自演習です。長さL、曲げ剛性EIの細長い片持ちはりの先端に圧縮荷重Pが作用するとします。小さいたわみを仮定し、境界条件と座屈を考えるうえで必要な未知量を言葉で列挙してください。

これは本書独自演習の解答例である。固定端をx=0、自由端をx=Lとし、横たわみをw(x)、断面回転をθ(x)≈w′(x)とする。P>0は圧縮とする。設問だけでは荷重方向の追従性が指定されていないため、ここでは変形後も初期軸方向を保つ保存的な死荷重と明示して解く。自由端の接線に方向が追従する荷重には、以下の境界条件をそのまま使わない。はりは初め直線で、EI一定の線形弾性Euler–Bernoulliはりとし、微小たわみ・微小回転、面内曲げ、横分布荷重と先端偶力なしを仮定する。

列挙すべき未知量は、横たわみの分布w(x)、それから得る回転w′(x)、曲げモーメント、固定端反力、および非零のたわみ形が可能になる荷重の固有値である。Pを与えて安定性を調べる場合はPは既知で、座屈荷重を探す場合はPも未知になる。線形座屈解析ではモードの大きさは定まらないため、未知の振幅または任意の正規化条件も必要である。

固定端では横変位も回転も抑えられるのでw(0)=0、w′(0)=0。自由端では曲げモーメントが零なのでEIw″(L)=0。また初期軸に垂直な外力がないため、有効な横せん断力S=−EIw‴−Pw′が零となり、EIw‴(L)+Pw′(L)=0である。自由端でもw(L)とw′(L)は一般に零ではない。四階の支配式EIw⁗+Pw″=0に対して、この四つが境界条件となる。

参考資料：資料1：PDF p27（ページ番号28/48）の固定端・自由端条件。自由端S2=−EIu‴−Pu′=0を確認。

前の解答で明示した保存的な死荷重モデルでは、横たわみに関する二次のポテンシャルはΠ₂[w]=(1/2)∫₀ᴸEI(w″)²dx−(P/2)∫₀ᴸ(w′)²dxである。第一項は曲げの弾性エネルギー、第二項は軸方向の短縮に伴う荷重の仕事である。変分を部分積分すると、δΠ₂=∫₀ᴸ(EIw⁗+Pw″)δw dx+[EIw″δw′−(EIw‴+Pw′)δw]₀ᴸとなる。固定端ではδw=δw′=0、自由端では両変分が任意なので、支配式と前述の二つの自然境界条件を得る。

P>0としてk=√(P/EI)と置くと、一般解はw=A cos(kx)+B sin(kx)+Cx+Dである。固定端からD=−A、C=−kB。自由端の有効せん断条件へ代入するとEIw‴+Pw′=PC=0であり、C=0、従ってB=0となる。残るモーメント条件は−Ak²cos(kL)=0。非自明解A≠0にはcos(kL)=0が必要だから、kL=(2n+1)π/2、n=0,1,…である。

最小正の固有値はPcr=π²EI/(4L²)。対応する形はw(x)=a[1−cos(πx/(2L))]で、aは未定の振幅である。これは有効長2Lの片持ち柱のEuler座屈荷重に一致する。P<Pcrでは二次エネルギーは正、P=Pcrで最低モード方向が中立、P>Pcrでは直線平衡が不安定となる。ただし有限の座屈後変形量や破壊荷重は、この線形解析だけでは求まらない。

参考資料：資料1：柱の線形化支配式・境界条件とEuler座屈の講義。エネルギー変分および一般解への代入は本書独自導出で、PDFの自由端条件と整合。

軸圧縮を受けるはりの自由端を、横荷重だけを受ける通常の片持ちはりと同じEIw‴(L)=0にしてはいけない。この解答の死荷重モデルで零となるのは、初期軸に垂直な力に対応するS(L)=−EIw‴(L)−Pw′(L)である。断面の向きが傾くため軸力の寄与が入る。「自由端だからせん断力零」とだけ書くと、どの方向の合力を指すかが曖昧になる。

実際にw=a[1−cos(kx)]、kL=π/2を代入すると、w″(L)=ak²cos(kL)=0だが、w‴(L)=−ak³は一般に零ではない。一方、EIw‴(L)+Pw′(L)=−EIak³+Pak=0となり、P=EIk²を使えば有効せん断条件を満たす。固定端でもw(0)=w′(0)=0である。曲げモーメントの符号を反転する規約でも零という条件は変わらないが、横力の式は一貫させる。荷重が接線方向へ追従する場合は別の非保存的問題となるので、荷重の種類を確認せず境界条件を転用しない。

参考資料：資料1：自由端条件に軸力×回転の項があることをPDF p27で確認。

臨界荷重の式は力の次元になっているか、EIが大きいほど座屈しにくいか、Lが長いほど座屈しやすいかを確認します。数式の形だけでなく、剛くする・長くするという極端な変化に結果がどう応じるかを言葉にします。