第6章　公式過去問と独自演習を分ける

大学公式のマイクロ・ナノ機械理工学一覧から2026年度一般選抜の詳細ページへ進むと、試験問題PDFと、専門部門の正解・解答例・出題意図PDFが公開されています。

2026年度問題PDFの基礎部門は5ページで、数学4問すべてに解答する構成です。線形代数、微積分、常微分方程式、ベクトル解析を実際の設問で確認できます。同じPDFに基礎数学の公式解答例は掲載されていません。

専門部門は8ページで、熱工学、流体力学、機械力学、制御工学、材料力学の5問から3問を選びます。公式解答例PDFは各問の解答と、博士前期課程で必要な知識を理解し応用できるかを問うという出題意図を示します。

公式解答例と出題意図は確認できますが、2027年度の問題、科目別配点、部分点、別解の扱い、採点基準、合格最低点は公表されていません。

2026年8月30日時点の専攻別公式一覧は、A（筆記試験免除者選抜）とB（一般選抜）のどちらも2025年度・2026年度を表示します。Aの2026年度詳細では出題意図・正解／解答例を確認できますが、独立した『試験問題』リンクは公開画面で確認できません。Bの2026年度詳細には試験問題と出題意図・正解／解答例があります。

2024年度以前は現在のA・B年度一覧に表示されず、本調査では取得していません。これは、問題が存在しない、大学へ請求しても入手できない、大学が非公開と決めた、という意味ではありません。必要なら入試担当へ入手可否を確認してください。

これは大学が公表した過去問ではなく、本書が公式範囲から作った独自問題です。質量行列M=diag(1,2) kg、剛性行列K=[[6,−2],[−2,4]] N/mの無減衰2自由度系について、det(K−ω²M)=0から固有角振動数と各モードの変位比u₂/u₁を求めてください。

未知量はω²とモードベクトルuです。まずx=ω²と置き、行列式でxを求め、その後に(K−xM)u=0へ戻って成分比を求めます。Mの対角成分が二つの質量、Kの非対角成分が連成を表すことも言葉で確認します。

固有値ω²は振動の速さを決め、固有モードはその振動で二つの座標がどの比で動くかを表します。モード全体を何倍しても同じ形なので、変位比で示せます。

答案は、①det(K−xM)を展開、②二つのxを求める、③各xを一行目へ代入してu₂/u₁を求める、④x>0と単位を確認する、の四段にします。計算結果だけでなく、どの式が何を決めたかを残します。

det(K−xM)=(6−x)(4−2x)−4=2(x²−8x+10)なので、x=4±√6です。したがってω₁=√(4−√6)、ω₂=√(4+√6) rad/sです。(6−x)u₁−2u₂=0より、u₂/u₁=1+√6/2（低い固有角振動数）と1−√6/2（高い固有角振動数）になります。

ωとω²を混同する、Mを単位行列に置き換える、非対角項の符号を落とす、二つの根に同じモード比を使う誤りを避けます。ω²が正で、K−ω²Mへ得たモードを掛けると零ベクトルになるかを確かめます。

数学4領域は全問型なので標準操作を一巡し、専門5科目は小問診断で3科目を暫定選択します。その後、公式過去問を本番時間で解き、誤りを立式・計算・説明・検算へ分類します。研究候補は対象、方法、必要基礎、現行所属の四列で比べます。

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