第6章　独自の完全混合反応槽（CSTR）演習

これは京都大学が公表した過去問ではなく、本書が環境装置の物質収支を確かめるために作った独自問題です。槽内の濃度がどこでも同じと仮定する完全混合反応槽（CSTR）を、流入と流出が一定の定常状態で考えます。条件は、流量Q=1000m³/day、槽容積V=500m³、流入濃度Cin=20mg/L、一次反応速度定数k=0.8day⁻¹です。完全混合なので槽内濃度と流出濃度が等しく、定常なので時間とともに増減する蓄積は0です。

定常状態の物質収支を、0=Q×Cin−Q×C−k×V×Cと置きます。流入負荷はQ×Cin、流出負荷はQ×Cです。一次反応の単位容積当たり消失速度はk×Cなので、槽全体ではk×V×Cになります。反応項に流入濃度Cinを使わない点が重要です。未知数Cを含む二項を整理すると、Q×Cin=(Q+kV)×Cです。

C=Q×Cin/(Q+kV)へ数値を代入します。分母は1000+0.8×500=1400m³/dayなので、C=1000×20/1400=14.2857…mg/L、整理して14.3mg/Lです。除去率は(Cin−C)/Cin×100で、(20−14.2857)/20×100=28.5715…％、小数第1位までで28.6％です。流出濃度が0～20mg/Lの範囲に収まっており、入口濃度より低くなるという条件と矛盾しません。

水が槽内に平均してとどまる時間である水理学的滞留時間は、θ=V/Qです。今回は500/1000=0.5dayになります。反応速度定数との積kθ=0.8×0.5=0.4は、単位を持たない無次元の数です。物質収支はC=Cin/(1+kθ)とも書け、20/(1+0.4)=14.3mg/Lと再計算できます。これは完全混合・定常・一次反応という前提内の説明です。

誤りやすいのは、kとQで使う時間単位をdayとhourのように混在させること、完全混合なのに反応項をkVCinと置くこと、除去率を流出濃度で割ることです。反応するのは槽内濃度Cで、除去率の分母は処理前濃度Cinです。最後に、濃度が負になっていないか、流入濃度を超えていないか、単位がmg/Lに戻っているかを見ます。これは大学の採点基準ではありません。

実際の処理槽では、流れの偏り、温度変化、複数反応、微生物増殖、沈殿、吸着、流量変動などが関係する場合があります。この演習は、それらをすべて無視した基礎モデルです。14.3mg/Lという値を実際の施設設計へ転用したり、特定汚染物質の規制適合を判断したりすることはできません。式が成立する条件を答えに添えると、数値計算の適用範囲を示せます。

同じ式で、kを0、0.4、1.6day⁻¹へ変えた場合、Vを250、1000m³へ変えた場合を計算します。次に目標流出濃度を10mg/Lとして必要なVを逆算します。数値を変える前に、kまたはVが増えればCは下がると予想し、計算後に向きを照合します。最後に、濃度が時間とともに変わる場合の蓄積項V dC/dtを加え、定常式との違いを説明します。

前半4週間は数学四分野と専門三分野を一巡し、語句を一文定義と式・単位に結びます。中盤3週間は公式過去問を時間制限なしで解き、解法を再構成します。後半3週間は数学90分、専門120分で通し、選択問題の判断時間も含めます。英語証明と志望区分相談はこの10週間より前から並行します。これは2027年度配点と日程を前提にした本書の一例です。

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