第6章　公式過去問の境界を守り、独自問題で量子力学を確かめる

専攻の入試ページは、令和8年度、令和7年度、令和6年度について、数学、英語、専門科目、小論文の公式PDFを公開しています。同ページは、個人学習以外での使用、営利目的の利用、複製、変更、貸与、転載を禁じています。著作権部分がWebで非公開の場合は、専攻事務室で閲覧できると案内しています。

令和8年度数学PDFは、2025年8月19日の試験時間を9時00分から10時30分、問題1を必答、問題2・3から一題を選択、配点を必答60点・選択40点の計100点と示します。

令和8年度専門科目PDFは、2025年8月19日の試験時間を14時30分から16時45分、八分野から三題を選択、各50点・計150点と示します。第八分野は、当時の表記で原子物理学です。

令和8年度小論文PDFは、2025年8月19日の試験時間を13時15分から14時00分、一題・50点と示します。

令和8年度英語PDFは、2025年8月19日の試験時間を11時00分から12時00分、問題1・2をともに解答し、合計50点と示します。Web公開PDFでは、著作権対象の問題本文は非公開です。

基底|1〉、|2〉でハミルトニアンH=[[0, Δ],[Δ, 0]]、Δ>0とする。固有値と規格化固有状態を求め、時刻0に|1〉だった系が時刻tに|2〉で見つかる確率を求めよ。この問題は大学が公表した過去問ではなく、本書が線形代数と量子力学の接点を確かめるために作成した独自問題です。

det(H−EI)=E²−Δ²=0より固有値はE+=Δ、E−=−Δです。対応する規格化固有状態は|+〉=(|1〉+|2〉)/√2、|−〉=(|1〉−|2〉)/√2です。初期状態は|1〉=(|+〉+|−〉)/√2と分解できます。行列の固有値と、状態の規格化を別々に確認します。

時間発展後は|ψ(t)〉={exp(−iΔt/ℏ)|+〉+exp(iΔt/ℏ)|−〉}/√2です。|2〉への振幅は−i sin(Δt/ℏ)なので、確率はP2(t)=sin²(Δt/ℏ)です。t=0で0、t=πℏ/(2Δ)で1となり、確率が0から1の範囲にあるため、初期条件と上限の点検も通ります。

ハミルトニアンは系のエネルギーと時間発展を決める演算子、固有状態は測定時に対応する固有値を得る状態、振幅は複素数、確率は振幅の絶対値二乗です。振幅そのものを確率と書くと、負や複素数になり得ます。これは公式科目である線形代数・量子力学を理解するための基礎用語整理です。

よくある誤りは、固有値を±Δ²とする、1/√2を落とす、時間発展因子の符号をそろえて振動を消す、振幅を二乗するだけで複素共役を取らない、Δt/ℏに単位が残ることです。最後にP2(0)=0と0≤P2≤1を確認すれば、式の誤りを早く見つけられます。

次回選抜まで12週間以上ある場合、第1～3週は線形代数・微積分・微分方程式と選択数学、第4～7週は選んだ専門三分野、第8～9週は学内英語と外部スコアの手続、第10週は小論文、第11～12週は公式過去問を利用条件に従って時間内に解く案を示します。残り期間と到達度に応じて配分を変える本書の標準案です。

購入前に閲覧できるのは、この公開プレビューに表示された範囲です。購入後もサイト上の有料全文は開放しません。決済確認後、原則2日程度で、完成版PDFを購入時に指定したメールアドレスへ送付します。届かない場合は迷惑メールフォルダと受信拒否設定を確認し、受付番号・購入時のメールアドレス・対象講座名を添えて「運営・お問い合わせ」の窓口へ連絡してください。