第6章　独自の1自由度減衰振動演習

これは京都大学が公表した過去問ではなく、本書が振動工学の基礎を確かめるために作った独自問題です。動きを一つの座標だけで表す1自由度系で、速度に比例する抵抗力が働く粘性減衰を考えます。条件は質量m=2kg、ばね定数k=50N/m、粘性減衰係数c=4N·s/mです。外力なしで小さく変位させて離し、減衰を無視した揺れの速さωn、減衰の強さを表す比ζ、減衰を含む揺れの速さωdを求めます。ωnとωdの単位rad/sは、1秒当たりに位相が何ラジアン進むかを表します。計算したζが0より大きく1より小さい状態を不足減衰と呼びます。

変位をx(t)とすると、外力なしの運動方程式はm ẍ+c ẋ+kx=0です。数値を代入すると2ẍ+4ẋ+50x=0になります。ẍは加速度、ẋは速度、xは変位で、三項はそれぞれ慣性、速度に比例する減衰、変位に比例する復元力を表します。右辺が0なのは、今回の独自演習では外から力を加え続けないためです。

非減衰固有角振動数はωn=√(k/m)=√(50/2)=5rad/sです。減衰比はζ=c/(2√(mk))=4/(2√(2×50))=4/20=0.2です。0<ζ<1なので不足減衰です。減衰固有角振動数はωd=ωn√(1−ζ²)=5√0.96=4.898979…rad/s、整理して約4.90rad/sです。減衰があるためωdはωnよりわずかに小さくなります。

ωnは減衰を無視した系固有の角振動数、ζは減衰の強さを臨界値との比で表す単位のない数、ωdは減衰がある系が実際に往復する角振動数です。今回の系は不足減衰なので、振動しながら振幅が小さくなります。rad/sは1秒当たりに位相が何ラジアン進むか、Hzは1秒当たりの往復回数を表し、f=ω/(2π)で換算します。

誤りやすいのは、ωnをk/mとして平方根を落とすこと、減衰比の分母を√(mk)だけにして2を落とすこと、ωdの根号内を1−ζとしてしまうことです。さらにrad/sをHzと同じ数値で書かないようにします。計算後にζが無次元か、0<ωd<ωnか、ばねを硬くすればωnが増える向きかを見れば、大きな代入・単位ミスを検出できます。

この計算は、力と変位が比例する線形ばね、速度に比例する粘性減衰、動きを一つの座標で表す1自由度という仮定に限られます。実際の機械では、複数の座標が必要な運動、支持部の動き、外力、摩擦、非線形ばね、過去に受けた力や変形の影響が残る材料の履歴などが関係する場合があります。4.90rad/sという値を実機へそのまま用いることはできません。

mとkを固定し、cを0、4、20、30N·s/mへ変えます。c=20N·s/mは2√(mk)に等しく臨界減衰、30N·s/mは過減衰です。各場合にζを求め、振動するか、最短で平衡へ戻るか、ゆっくり戻るかを言葉で比較します。外力を加えずに起こる揺れが自由振動です。次に、外力の大きさをF0、外力が繰り返す角振動数をωとする周期的な力F0cosωtを右辺へ加えます。この外力によって起こる強制振動と自由振動の違いを説明します。これは公式問題の予測ではない追加練習です。

まず運動方程式を書き、次にωn、ζ、ωdの記号式を示し、その後で数値を代入します。答えだけを並べるより、どの式を選び、どこへ値を入れたかが追いやすくなります。末尾にζが無次元、ωnとωdがrad/sであること、0<ζ<1なので不足減衰であることを添えます。これは京都大学の模範答案や採点配分ではなく、本書の答案構成案です。

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