第5章　本書独自の答案例と、公開資料で答えられないこと

I(1)は定数係数線形、I(2)はxのべきで係数が変わるEuler型、IIはy²を含むRiccati型です。IIは、まず問題文が求める2次多項式の特殊解を探し、その後に一般解へ進む必要があります。ここで方程式の型と、問題文が指定する解法の順序を答案冒頭に一行で書くと、途中式の目的が伝わります。

I(1)とI(2)は、①同次方程式、②特殊解、③一般解、④代入による短い検算、の順に書きます。IIは、①多項式を代入して係数比較、②得た特殊解を明記、③y=特殊解+1/uと置く、④uの一次方程式、⑤積分因子、⑥一般解と定義域、の順にします。

I(1)の同次方程式の特性方程式はr²+6r+8=(r+2)(r+4)=0です。したがって同次解はC1e^(−2x)+C2e^(−4x)。Ae^(−x)を特殊解に仮定すると、左辺のe^(−x)係数は(1−6+8)A=3AなのでA=1です。よって y=C1e^(−2x)+C2e^(−4x)+e^(−x)。

I(2)の同次解をx^mと置くと、m(m−1)−2=(m−2)(m+1)=0なので、C1x²+C2x^(−1)です。Ax³を特殊解に仮定すると(6−2)Ax³−4x³=0よりA=1です。したがって y=C1x²+C2/x+x³。元の方程式がx=0で退化するため、この形はx=0をまたがない区間で扱います。

y=A0+A1x+A2x²を代入してxの次数ごとに係数を比べると、A0=0、A1=0、A2=2となり、特殊解yp=2x²を得ます。y=2x²+1/uと置くと、uは

u' + {(8x³−1)/[x(2x³−1)]}u = −2/(2x³−1)

を満たします。左辺の係数は1/x+6x²/(2x³−1)なので、積分因子はx(2x³−1)です。よって

{x(2x³−1)u}'=−2x、

x(2x³−1)u=C−x²。

したがって一般解は

y=2x²+x(2x³−1)/(C−x²)

です。元の微分方程式のy'の係数が0になるx=0と2x³=1、および分母C−x²=0になる点を含まない区間で解を扱います。特殊解y=2x²自体も忘れずに併記します。

同次解は、外から与えられる項を0にした方程式の解です。特殊解は、元の非同次方程式を満たす一つの具体的な解です。線形方程式では、その二つを足して一般解を作ります。積分因子は、一次方程式u'+P(x)u=Q(x)の左辺を一つの積の微分に変える関数で、exp(∫P(x)dx)です。Riccati型では、既知の特殊解を使うと未知関数uの一次方程式に変換できます。

I(1)でe^(−x)を同次解と混同する、I(2)でx=0を含むように書く、IIでy=yp+1/uへ変換した後に特殊解yp自体を答案から落とす、積分因子のxまたは2x³−1を落とす、C−x²=0で分母が消える点を無視する、という誤りに注意します。最後に元の式へ一度代入すれば、多くの符号ミスを発見できます。

今回確認した2026年度の公式問題、過去問ページ、出題意図PDFには、大学公表の解答例、問題別の出題意図、問題別採点基準、配点、合格最低点、作問者名がありません。口述は三つの評価項目が公表されていますが、点数配分はありません。

教員の研究分野と問題の題材が似ていても、作問担当の証拠にはなりません。本書は作問者を推定しません。

2027年度問題は試験前で未公開です。2027年度便覧・詳細シラバス、研究室別受入人数、個人別の修士・博士指導可否、志望順位の配属への使い方、TOEFL最低点、研究設備の講習・予約・費用・学生の操作範囲も確認できません。修士・博士B日程の実施も未確定です。

更新するときは、①研究科の2027年度募集要項、②物理工学専攻の2027年度案内、③TOEFL専用要項、④2027年度便覧・シラバス、⑤2027年度公式問題と出題意図、⑥受入教員一覧、⑦研究室の研究・設備ページ、の順で確認します。後から更新された一次資料が現在の記述と違う場合は、新しい公式資料を優先し、確認日も更新します。